Question

যদি ভেক্টর \( \vec{\alpha} = a\hat{i} + a\hat{j} + c\hat{k}, \quad \vec{\beta} = \hat{i} + \hat{k}, \quad \vec{\gamma} = c\hat{i} + c\hat{j} + b\hat{k} \) একই সমতলে অবস্থিত (coplanar) হয়, তবে প্রমাণ কর যে \( c^2 = ab \)।

Hint:

তিনটি ভেক্টর coplanar কিনা দ্রুত যাচাই করতে scalar triple product ব্যবহার করো। Determinant শূন্য হলে ভেক্টরগুলো একই সমতলে থাকে।

Answer 1

Concept: তিনটি ভেক্টর একই সমতলে অবস্থিত (coplanar) হলে তাদের scalar triple product শূন্য হয়। \[ [\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}] = \begin{vmatrix} \alpha_x & \alpha_y & \alpha_z \\ \beta_x & \beta_y & \beta_z \\ \gamma_x & \gamma_y & \gamma_z \end{vmatrix} = 0 \] অর্থাৎ, এই determinant শূন্য হলে ভেক্টর তিনটি একই সমতলে থাকে। Step 1: ভেক্টরগুলোর উপাংশ লিখি। \[ \vec{\alpha} = (a, a, c), \quad \vec{\beta} = (1, 0, 1), \quad \vec{\gamma} = (c, c, b) \] Step 2: Scalar triple product শূন্য ধরি। \[ \begin{vmatrix} a & a & c\\ 1 & 0 & 1 \\ c & c & b \end{vmatrix} = 0 \] Step 3: Determinant প্রসারণ করি। প্রথম সারি বরাবর প্রসারণ করলে: \[ = a \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ c & b \end{vmatrix} - a \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ c & b \end{vmatrix} + c \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ c & c \end{vmatrix} \] Step 4: Minor গুলো হিসাব করি। \[ = a(0\cdot b - 1\cdot c) - a(1\cdot b - 1\cdot c) + c(1\cdot c - 0\cdot c) \] \[ = a(-c) - a(b - c) + c^2 \] Step 5: সরলীকরণ। \[ = -ac - ab + ac + c^2 = c^2 - ab \] Step 6: Coplanar শর্ত ব্যবহার করি। যেহেতু ভেক্টরগুলো coplanar, \[ c^2 - ab = 0 \quad \Rightarrow \quad c^2 = ab \]