Question

যদি \( \vec{a} = 4\hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \) এবং \( \vec{b} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \) হয়, তবে \( \vec{a} + \vec{b} \) ভেক্টরের সমান্তরাল একটি একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

Hint:

কোনো ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর পেতে হলে প্রথমে ভেক্টরের মান বের করো, তারপর ভেক্টরটিকে তার মান দ্বারা ভাগ করো।

Answer 1

Concept: কোনো ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর পেতে হলে প্রথমে ভেক্টরটির মান (magnitude) নির্ণয় করতে হয়। একক ভেক্টর, \[ \hat{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \] অর্থাৎ, প্রদত্ত ভেক্টরকে তার মান দ্বারা ভাগ করলে একক ভেক্টর পাওয়া যায়। Step 1: প্রথমে \( \vec{a} + \vec{b} \) নির্ণয় করি। \[ \vec{a} + \vec{b} = (4\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) \] \[ = (4+2)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (1+1)\hat{k} \] \[ = 6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k} \] Step 2: ভেক্টরটির মান নির্ণয় করি। \[ |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2} \] \[ = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7 \] Step 3: একক ভেক্টর নির্ণয় করি। \[ \text{Required unit vector} = \frac{6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}}{7} \] \[ = \frac{6}{7}\hat{i} - \frac{3}{7}\hat{j} + \frac{2}{7}\hat{k} \]