Question

For the matrix \(A=\begin{bmatrix}1&1&1\\ 1&2&-3\\ 2&-1&3\end{bmatrix}\)show that \(A^3−6A^2+5A+11I=O\).Hence,find A−1.

Answer 1

\(A=\begin{bmatrix}1&1&1\\ 1&2&-3\\ 2&-1&3\end{bmatrix}\)
\(A^2=\begin{bmatrix}1&1&1\\ 1&2&-3\\ 2&-1&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1&1\\ 1&2&-3\\ 2&-1&3\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}1+1+2& 1+2-1& 1-3+3\\ 1+2-6& 1+4+3& 1-6-9\\ 2-1+6& 2-2-3& 2+3+9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4&2&1\\ -3&8&-14\\ 7&-3&14\end{bmatrix}\)
\(A^3=\begin{bmatrix}4&2&1\\ -3&8&-14\\ 7&-3&14\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1&1\\ 1&2&-3\\ 2&-1&3\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}4+2+2& 4+4-1& 4-6+3\\ -3+8-28& -3+16+14& -3-24-42\\ 7-3+28& 7-6-14& 7+9+12\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}8&7&1\\ -23& 27& -69\\ 32& -13& 58\end{bmatrix}\)
therefore \(A^3−6A^2+5A+11I\)
\(=\begin{bmatrix}8&7&1\\ -23& 27& -69\\ 32& -13& 58\end{bmatrix}-6\begin{bmatrix}4&2&1\\ -3&8&-14 \\7&-3&14\end{bmatrix}+5\begin{bmatrix}1&1&1\\ 1&2&-3\\ 2&-1&3\end{bmatrix}+11\begin{bmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}8&7&1\\ -23& 27& -69\\ 32& -13& 58\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}24&12&6\\ -18&48&-84 \\42&-18&84\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}5&5&5\\ 5&10&-15\\ 10&-5&15\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}11&0&0\\ 0&11&0\\ 0&0&11\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}24& 12& 6\\ -18& 48& -84\\ 42& -18& 84\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}24& 12& 6 \\-18& 48& -84\\ 42& -18& 84\end{bmatrix}\)
\(=0\)
Thus \(A^3−6A^2+5A+11I=0\)
\((AAA)A^{-1}-6(AA)A^{-1}+5AA^{-1}+11IA^{-1}=0\) [post multipying by \(A^{-1} as |A|≠0\)]
\(\implies AA(AA^{-1})-6A(AA^{-1})+5(AA^{-1})=-11(IA^{-1})\)
\(=>A^2-6A+5I=-11A^{-1}\)
\(\implies A^{-1}= \frac{-1}{11}(A^2-6A+5I) ...(1)\)
Now \(A^2-6A+5I\)
\(=\begin{bmatrix}4&2&1\\ -3&8&-14\\ 7&-3&14\end{bmatrix}-6\begin{bmatrix}1&1&1\\ 1&2&-3\\ 2&-1&3\end{bmatrix}+5\begin{bmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}4&2&1\\ -3&8&-14\\ 7&-3&14\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}6&6&6\\ 6&12&-18\\ 12&-6&18\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}5&0&0\\ 0&5&0\\ 0&0&5\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}9&2&1\\ -3& 13& -14\\ 7& -3& 19\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}6&6&6\\ 6& 12& -18\\ 12& -6& 18\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}3&-4&-5\\ -9&1&4\\ -5&3&1\end{bmatrix}\)
Form equation (1) we have
\(A^{-1}=\frac{-1}{11}\begin{bmatrix}3&-4&-5\\ -9&1&4\\ -5&3&1\end{bmatrix}\)
\(=\frac{1}{11}\begin{bmatrix}-3&4&5\\ 9&-1&-4\\ 5&-3&-1\end{bmatrix}\)