Question

যদি সরলরেখা দুটি \[ \frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{-2\lambda} = \frac{z-2}{0} \quad \text{এবং} \quad \frac{x-1}{1} = \frac{2y+3}{3\lambda} = \frac{z+5}{2} \] পরস্পর লম্ব হয়, তবে \( \lambda \)-এর মান নির্ণয় কর।

Hint:

দুটি সরলরেখা লম্ব কিনা যাচাই করতে direction vector বের করে ডট গুণফল শূন্য করলেই দ্রুত সমাধান পাওয়া যায়।

Answer 1

Concept: দুটি সরলরেখা পরস্পর লম্ব হলে তাদের direction vector-এর ডট গুণফল শূন্য হয়। \[ \vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 0 \] Step 1: প্রথম সরলরেখার direction vector নির্ণয় করি। সমীকরণ, \[ \frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{-2\lambda} = \frac{z-2}{0} \] অতএব direction vector, \[ \vec{d_1} = \langle 3, -2\lambda, 0 \rangle \] Step 2: দ্বিতীয় সরলরেখার direction vector নির্ণয় করি। \[ \frac{x-1}{1} = \frac{2y+3}{3\lambda} = \frac{z+5}{2} \] এখানে, \[ \frac{2y+3}{3\lambda} = t \Rightarrow y = \frac{3\lambda t - 3}{2} \] অতএব y-এর সহগ হবে \( \frac{3\lambda}{2} \) সুতরাং direction vector, \[ \vec{d_2} = \left\langle 1, \frac{3\lambda}{2}, 2 \right\rangle \] Step 3: লম্ব শর্ত প্রয়োগ করি (Dot product = 0)। \[ \vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 3(1) + (-2\lambda)\left(\frac{3\lambda}{2}\right) + 0(2) \] \[ = 3 - 3\lambda^2 \] Step 4: শূন্যের সমান করি। \[ 3 - 3\lambda^2 = 0 \Rightarrow 3\lambda^2 = 3 \Rightarrow \lambda^2 = 1 \] Step 5: মান নির্ণয়। \[ \lambda = \pm 1 \]