Question

lসমতল \( 2x + 2y - 2z + 1 = 0 \) বিন্দু \( (2, 1, 5) \) এবং \( (3, 4, 3) \) এর সংযোগকারী রেখাংশকে কী অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।

Hint:

সমতল যদি দুই বিন্দুর সংযোগকারী রেখাংশকে বিভক্ত করে, তবে section formula ব্যবহার করে বিভাজন বিন্দু বের করে সমতলে বসালেই অনুপাত পাওয়া যায়।

Answer 1

Concept: যদি কোনো সমতল দুইটি বিন্দুর সংযোগকারী রেখাংশকে কোনো অনুপাতে বিভক্ত করে, তবে section formula ব্যবহার করা হয়। ধরি, সমতলটি বিন্দু \( A(x_1,y_1,z_1) \) ও \( B(x_2,y_2,z_2) \) কে \( m:n \) অনুপাতে বিভক্ত করছে। তাহলে বিভাজন বিন্দু, \[ P\left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}, \frac{mz_2 + nz_1}{m+n}\right) \] এই বিন্দুটি সমতলের সমীকরণ সন্তুষ্ট করবে। Step 1: প্রদত্ত বিন্দু ধরি। \[ A = (2,1,5), \quad B = (3,4,3) \] Step 2: বিভাজন বিন্দু ধরি। ধরি, সমতলটি রেখাংশকে \( m:n \) অনুপাতে বিভক্ত করছে। তাহলে, \[ P = \left( \frac{3m+2n}{m+n}, \frac{4m+n}{m+n}, \frac{3m+5n}{m+n} \right) \] Step 3: সমতলের সমীকরণে বসাই। \[ 2x + 2y - 2z + 1 = 0 \] মান বসিয়ে, \[ 2\left(\frac{3m+2n}{m+n}\right) + 2\left(\frac{4m+n}{m+n}\right) - 2\left(\frac{3m+5n}{m+n}\right) + 1 = 0 \] Step 4: ল.সা.গু \( (m+n) \) নিয়ে সরল করি। \[ \frac{2(3m+2n) + 2(4m+n) - 2(3m+5n)}{m+n} + 1 = 0 \] \[ \frac{6m+4n + 8m+2n - 6m -10n}{m+n} + 1 = 0 \] \[ \frac{8m - 4n}{m+n} + 1 = 0 \] Step 5: সরলীকরণ। \[ \frac{8m - 4n + (m+n)}{m+n} = 0 \] \[ \frac{9m - 3n}{m+n} = 0 \Rightarrow 9m - 3n = 0 \] \[ 3m = n \Rightarrow m:n = 1:3 \] % Final Answer Answer: সমতলটি রেখাংশকে \( 1:3 \) অনুপাতে বিভক্ত করে।