Question

মান নির্ণয় কর: \[ \int_{-1}^{1} e^{|x|}\, dx \]

Hint:

\( |x| \) যুক্ত definite integral হলে ঋণাত্মক ও ধনাত্মক অংশ আলাদা করে সমাকলন করলেই দ্রুত সমাধান পাওয়া যায়।

Answer 1

Concept: যখন কোনো সমাকলনে \( |x| \) থাকে, তখন তাকে দুই ভাগে ভাগ করতে হয়। \[ |x| = \begin{cases} -x, & x<0 \\ x, & x \ge 0 \end{cases} \] Step 1: সীমা ভাগ করি। \[ \int_{-1}^{1} e^{|x|} dx = \int_{-1}^{0} e^{-x} dx + \int_{0}^{1} e^x dx \] Step 2: প্রথম অংশ সমাকলন। \[ \int_{-1}^{0} e^{-x} dx = \left[-e^{-x}\right]_{-1}^{0} \] \[ = (-e^0) - (-e^1) = -1 + e \] Step 3: দ্বিতীয় অংশ সমাকলন। \[ \int_{0}^{1} e^x dx = \left[e^x\right]_{0}^{1} = e - 1 \] Step 4: যোগ করি। \[ (-1 + e) + (e - 1) = 2e - 2 \] % Final Answer Answer: \( 2(e - 1) \)