Question

কোন \( a \) ও \( b \)-এর মানের জন্য নিম্নলিখিত গাণিতিক অভিব্যক্তিটি সত্য হবে? \[ \int \frac{dx}{1+\sin x} = \tan\left(\frac{x}{2} + a\right) + b \]

Hint:

\( \int \frac{1}{1+\sin x} dx \) ধরনের সমাকলনে conjugate দিয়ে সরল করলে সহজেই standard ফলাফল পাওয়া যায়।

Answer 1

Concept: ত্রিকোণমিতিক সমাকলনে সাধারণত conjugate ব্যবহার করে সরল করা হয়। এখানে \( 1+\sin x \) কে সরল করতে আমরা \( \frac{1-\sin x}{1-\sin x} \) দ্বারা গুণ করব। Step 1: Rationalization করি। \[ \int \frac{dx}{1+\sin x} = \int \frac{1-\sin x}{(1+\sin x)(1-\sin x)} dx \] \[ = \int \frac{1-\sin x}{1-\sin^2 x} dx = \int \frac{1-\sin x}{\cos^2 x} dx \] Step 2: ভাগ করে লিখি। \[ = \int \left(\frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\sin x}{\cos^2 x}\right) dx \] \[ = \int (\sec^2 x - \sec x \tan x)\, dx \] Step 3: সমাকলন করি। \[ \int \sec^2 x\, dx = \tan x \quad \text{এবং} \quad \int \sec x \tan x\, dx = \sec x \] অতএব, \[ \int \frac{dx}{1+\sin x} = \tan x - \sec x + C \] Step 4: পরিচিত রূপে লিখি। আমরা জানি, \[ \tan x - \sec x = \tan\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \] অতএব, \[ \int \frac{dx}{1+\sin x} = \tan\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) + C \] Step 5: তুলনা করি। প্রদত্ত, \[ \tan\left(\frac{x}{2} + a\right) + b \] তুলনা করে পাই, \[ a = -\frac{\pi}{4}, \quad b = C \] যেহেতু \( b \) একটি ধ্রুবক, তাই সাধারণভাবে \( b = 0 \) ধরা যায়। % Final Answer Answer: \( a = -\frac{\pi}{4}, \quad b = 0 \)