Question

Let A=\(\begin{pmatrix} 2 &-1  &-1 \\   1&0  &-1 \\   1&-1  &0  \end{pmatrix}\) and B=A–I. If ω=\(\frac{\sqrt3 i-1}{2}\), then the number of elements in the set {n∈{1,2,⋯,100}:\(A^n+(ωB)^n\)=A+B} is equal to _______.

Answer 1

Correct Answer: 17

Here
A=\(\begin{pmatrix} 2 &-1  &-1 \\   1&0  &-1 \\   1&-1  &0  \end{pmatrix}\)
We get A² = A and similarly, for
B=A−I=\(\begin{bmatrix} 1 &-1  &-1 \\   1&  -1&-1 \\   1&-1  &-1  \end{bmatrix}\)
We get,
 B² = – B
⇒B³ = B
∴ Aⁿ + (ωB)ⁿ = A + (ωB)ⁿ for n∈ N
For ωⁿ to be unity n shall be multiple of 3 and for Bⁿ to be B.n shell be 3, 5, 7, … 99
∴ n = {3, 9, 15,….. 99}
Number of elements = 17.