Question

If $A= \begin{bmatrix}1&2\\ 0&1\end{bmatrix} $, then $A^n$ is

• A. $\begin{bmatrix}1&2^n - 2\\ 0&1\end{bmatrix} $
• B. $\begin{bmatrix}1&n^2 \\ 0&1\end{bmatrix} $
• C. $\begin{bmatrix}1&2n \\ 0&1\end{bmatrix} $
• D. $\begin{bmatrix}1&n^2 \\ 1 &1\end{bmatrix} $

Answer 1

The Correct Option is C

$A^{2} = A.A = \begin{bmatrix}1&2\\ 0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&2\\ 0&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&4\\ 0&1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1&2\times2\\ 0&1\end{bmatrix} $
$ A^{3} =A^{2} .A = \begin{bmatrix}1&4\\ 0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&2\\ 0&1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1&6\\ 0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&3\times2\\ 0&1\end{bmatrix} $
Similarly $ A^{4} = A^{3} .A = \begin{bmatrix}1&8\\ 0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&4\times2\\ 0&1\end{bmatrix}$
$ \Rightarrow A^{n} = A^{n-1} A =\begin{bmatrix}1&n\times2\\ 0&1\end{bmatrix}$
$ \therefore \ \ A^{n} = \begin{bmatrix}1&2n\\ 0&1\end{bmatrix}$