Question

Integrate the function: $tan^{-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$

Answer 1

$I=tan^{-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$

$Let\space x=cosθ⇒dx=-sinθdθ$

$I=\int tan^{-1}\sqrt{\frac{1-cosθ}{1+cosθ}}(-sinθdθ)$

$=-\int tan^{-1}\sqrt{\frac{2sin^{2}\frac{θ}{2}}{2cos^{2}\frac{θ}{2}}}sinθdθ$

$=-\int tan^{-1}tan\frac{θ}{2}.sinθdθ$

$=-\frac{1}{2}∫θ.sinθdθ$

$=-\frac{1}{2}[θ.(-cosθ)-∫1.(-cosθ)dθ]$

$=-\frac{1}{2}[-θcosθ+sinθ]$

$=+\frac{1}{2}θcosθ-\frac{1}{2}sinθ$

$=\frac{1}{2}cos^{-1}x.x-\frac{1}{2}\sqrt{1-x^{2}}+C$

$=\frac{x}{2}cos^{-1}x-\frac{1}{2}\sqrt{1-x^{2}}+C$

$=\frac{1}{2}(xcos^{-1}x-\sqrt{1-x^{2}})+C$