Question

The value of $\begin{vmatrix} \log_5\,729 & \log_3\,5 \\[0.3em] \log_5\,27 & \log_9\,25 \end{vmatrix}.\begin{vmatrix} \log_3\,5 & \log_{27}\,5 \\[0.3em] \log_5\,9 & \log_5\,9 \end{vmatrix}=$

• A. $1$
• B. $6$
• C. $ \log_5\,9 $
• D. $\log_3\,5. \log_5\,9$

Answer 1

The Correct Option is D

$\begin{vmatrix}
\log_5\,729 & \log_3\,5 \\[0.3em]
\log_5\,27 & \log_9\,25 \end{vmatrix}\begin{vmatrix}
\log_3\,5 & \log_{27}\,5 \\[0.3em]
\log_5\,9 & \log_5\,9 \end{vmatrix}$
= $\begin{vmatrix}
\log_5\,3^6 & \log_3\,5 \\[0.3em]
\log_5\,3^3& \log_{32}\,5^2 \end{vmatrix}\begin{vmatrix}
\log_3\,5 & \log_{3}\,3^5 \\[0.3em]
\log_5\,3^3 & \log_{32}\,5^2 \end{vmatrix}$
$\begin{vmatrix}
6 \, \log_5\,3 & \log\,5 \\[0.3em]
3\, \log_5\,3 & \frac{2}{2} \log_3\,5 \end{vmatrix}\begin{vmatrix}
\log_3\,5 & \frac{1}{3}\log_{3}\,3^5 \\[0.3em]
2\, \log_5\,3 & 2\,\log_5\,3 \end{vmatrix}$
$\begin{vmatrix}
6 \, \log_5\,3 & \log\,5 \\[0.3em]
3\, \log_5\,3 & \frac{2}{2} \log_3\,5 \end{vmatrix}\begin{vmatrix}
\log_3\,5 & \frac{1}{3}\log_{3}5 \\[0.3em]
2\, \log_5\,3 & 2\,\log_5\,3 \end{vmatrix}$
$\left(6-3\right)\left(2- \frac{2}{3}\right)=\left(3\right)\left(\frac{4}{3}\right)=4$
= $\log_3\, 5 \, \log_5 \, 81$
$ (\log_3 \, 5 \, \log_5 \, 81) \, =\log_3 \, 5\, \log_ 5\, 3^4 = 4\, log_3 \, 5\, \log_5 \, 3$
= $4(1) = 4 $