Question

Show that the following four conditions are equivalent: \((i) A ⊂ B (ii) A – B = \phi (iii) A ∪ B = B (iv) A ∩ B = A\)

Answer 1

First, we have to show that \((i) ⇔ (ii).\) 
Let \(A ⊂ B\)
To show: \(A – B \ne\phi\)
If possible, suppose \(A – B \ne\phi\)
This means that there exists \(x ∈ A, x ≠ B\), which is not possible as \(A ⊂ B.\)
\(∴ A – B = \phi\) 
\(∴ A ⊂ B ⇒ A – B = \phi\)
Let \(A – B = \phi\)
To show: \(A ⊂ B\)
Let \(x ∈ A\)
Clearly, \(x ∈ B\) because if \(x ∉ B\), then \(A – B ≠ \phi\)
\(∴ A – B = \phi ⇒ A ⊂ B\)
\(∴ (i) ⇔ (ii)\)
Let \(A ⊂ B\)
To show: \(A ∪ B = B\)
Clearly, \(B ⊂ A ∪ B\)
Let \(x ∈ A ∪ B\)
\(⇒ x ∈ A \space or x ∈ B\)

Case I: \(x ∈ A\)
\(⇒ x ∈ B [∴ A ⊂ B]\)
\(∴ A ∪ B ⊂ B\)

Case II: \(x ∈ B\)
Then, \(A ∪ B = B\)
Conversely, let \(A ∪ B = B\)
Let \(x ∈ A\)
\(⇒ x ∈ A ∪ B\)               \([∴ A ⊂ A ∪ B]\)
\(⇒ x ∈ B\)                   \([ ∴ A ∪ B = B]\)
\(∴ A ⊂ B\)

Hence, \((i) ⇔ (iii)\)
Now, we have to show that \((i) ⇔ (iv).\)
Let \(A ⊂ B\)
Clearly \(A ∩ B ⊂ A\)
Let \(x ∈ A\)
We have to show that \(x ∈ A ∩ B\)
As \(A ⊂ B, x ∈ B\)
\(∴ x ∈ A ∩ B\)
\(∴ A ⊂ A ∩ B\)
Hence, \(A = A ∩ B\)
Conversely, suppose. \(A ∩ B = A\) 
Let \(x ∈ A\)
\(⇒ x ∈ A ∩ B\)
\(⇒ x ∈ A\) and \(x ∈ B\)
\(⇒ x ∈ B\)
\(∴ A ⊂ B\)
Hence, \((i) ⇔ (iv).\)