Question

Find $(x + 1)^6 - (x - 1)^6$. Hence or otherwise evaluate $(\sqrt2 + 1)^6 + (\sqrt2 - 1)^6.$

Answer 1

Using Binomial Theorem, the expressions, $(x+ 1)^6$ and $(x -1)^6$, can be expanded as

$(x+1)^6$= $^6C_0 x^6+ ^6C_1 x^5$$+ ^6C_2 x^4 + ^6C_3 x^3$$+ ^6C_4 x^2 + ^6C_5 x + ^6C_6$
$(x-1)^6$= $^6C_0 x^6 - ^6C_1 x^5 + ^6C_2 x^4$$- ^6C_3 x^3$$+ ^6C_4 x^2 - ^6C_5 x + ^6C_6$
$(x+1)^6+(x-1)^6$=$2[ ^6C_0 x^6$ $+ ^6C_2 x^4 +$ $^6C_4 x^2+$ $^6C_6]$
=$2[x^6+15x^4+15x^2+1]$

$\text{By putting } x = \sqrt2, \text{we obtain}$

$(\sqrt2+1)^6+(\sqrt2-1)^6$ = $2[ (\sqrt2)^6 +15(\sqrt2)^4 +15 (\sqrt2)^2+1]$
=$2(8+15×4+15 ×2+1)$
=$2(8+60+30+1)$
=$2(99)$
=$198$

$\text {Hence,} \,(\sqrt2 + 1)^6 + (\sqrt2 - 1)^6 = 198.$